Présentation
Mon domaine principal de recherche est la Géométrie algébrique affine
et, en particulier, l'étude des propriétés algébriques et topologiques des
automorphismes des algèbres de polynômes (automorphismes polynomiaux).
Je m'intéresse également aux mathématiques discrètes (théorie des automates)
et à la théorie des immeubles (Groupe de Coxeter et systèmes de Tits).
Projet 1 : Etude automatique des automorphismes modérés
Soit T un groupe engendré par deux sous groupes G et J.
Pour fixer les idées, étant donné un entier n et un corps K,
on peut penser que G est le groupe linéaire Gln(K) et que J est le groupe des automorphismes de Jonquière
de l'algèbre des polynômes K[x1,..,xn] (c'est à dire les automorphismes s tels que
s(xi) = xi + Pi(xi+1,Â…,xn) où les Pi sont des polynômes de K[xi+1,..,xn]).
Les éléments de T sont appelés automorphismes modérés. Voir, par exemple [E].
Cependant, on peut aussi considérer un groupe J associé à une variété algébrique affine plongée
ou màªme un groupe de transformations transcendantes.
La décomposition de Bruhat permet de voir T comme engendré par J et un groupe fini S (le groupe symétrique).
Il existe une façon canonique (par rapport à T) de choisir un système de générateurs d'ordre 2 de S qui fait
de S un groupe de Coxeter et de G un système de Tits (cf. [B]).
Cette présentation de S permet de construire un automate dont la fonction est de transformer
une décomposition d'un élément de T en produit d'éléments de G et de J en une décomposition réduite.
La conjecture centrale est qu'il n'y a pas d'autre simplification que celle induite de cette façon
par présentation de S. Cette conjecture apparaît comme une généralisation naturelle de la structure
de produit amalgamé existant sur le groupe des automorphismes (modérés) de K[x,y].
Cette construction est faite dans le cas particulier de la dimension 3 dans [3].
Une généralisation devrait permettre de clarifier et de rendre plus naturelle cette construction.
Il y a deux types d'applications auxquelles on peut s'intéresser.
Théoriquement, cette construction devrait nous permettre de mieux comprendre la composition du linéaire
avec le non-linéaire (algébrique ou non). Pratiquement, on peut imaginer construire des crypto-systèmes
basés sur le fait qu'il n'existe pas d'algorithme permettant de décomposer un automorphisme modéré
en produit d'éléments de G et de J.
[B] N. Bourbaki, Groupe et Algèbre de Lie, Masson.
[E] A. van den Essen, Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture, Progress in Math 190. Birkhà¤user.